数制的本质

想要弄清楚这些进制很简单，十进制各位都很熟悉，那先从十进制入手。

十进制计数规则是：

• 基数为10。
• 有10个数字，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
• 逢10进1，借1当10。

那么，二进制计数规则就是：

• 基数为2。
• 有2个数字，即0和1。
• 逢2进1，借1当2。

十进制可以有多位组成，从右向左依次为个位、十位、百位、千位、万位…

于此类似，那么二进制也可以由多位数组成，从右向左分别为1位、2位、4位、8位、16位…

为什么称二进制的位数为1位、2位、4位…

其实这是从十进制的角度看二进制各位数得出的名称。

看上表，当二进制产生进位时，代表的十进制数为2、4、8、16、32、64、128…

二进制虽然只有0和1两个数字，但是由于数字所处的位置不同，表示的数据也不同，例如：

二进制数 “1011”

这个二进制数共有4位，由3个1和1个0组成，比如数字1所处位置不同，所代表的大小也不同，其所处位置称作权。从右向左顺序各个位表示十进制的含义：

第一个1表示：1的个数

第二个1表示：2的个数

第三个0表示：4的个数

第四个1表示：8的个数

(在此可以类比十进制1011，由1个1000，0个100，1个10，1个1组成。)

所以，二进制数s1011由1个8，0个4，1个2，1个1组成。按各位的权列出：

按这种权展开式可以很方便将二进制转换为十进制。

相应的，十进制转换成二进制整数就通常采用“除2取余，逆序排列”的方法。具体做法是用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数，再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此反复，直到商为0停止。再把先得到的余数作为二进制低位有效位，后得到的余数作为二进制高位有效位，依次排列。

举个例子：

将十进制“11”转换为二进制。

将十进制11转换为二进制数为1011。

和十进制相比，二进制的运算规则也就简单多了。

加法

二进制运算只会有以下4种可能：

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

(逢二进一)

对于多位数二进制相加，考虑进位采用“逢2进1”的方式，例如十进制25（二进制11001）加上十进制27（二进制11011）：

减法

也只有4种可能：

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1

（借一当二）

乘法

十进制可以按照九九乘法表运算，二进制乘法规则就简单多了，也有4种情况：

二进制乘法也可以很简单转换为加法运算，例如十进制25（二进制11001）乘以十进制5（二进制101）。

除法

除法是乘法的逆运算，二进制乘法有4种，除法也是应该对应4种，考虑0作为除数是没有意义的。所以除法有以下两种：

0÷1=0

例如十进制25（二进制11001）除以十进制5（二进制101）。

比较复杂的乘法和除法运算都能简单的转换为加、减和位移操作，所以一般计算机也只需要设计一个加法器即可。

二进制弄清楚了，八进制也就很好懂了。

其实很早，古人就明白了八进制的概念，比如八卦…

八卦最初就是古人的记事符号，只是后来作为占卜工具被打上封建迷信的标志。

其中隐含着二进制和八进制的概念。

八卦的基本元素就是阴和阳，相当于二进制中的0和1。

下图中用长实线代表“阳”，用中间断开的线代表“阴”，然后由3种这样的线条组成8种形状，相当于3位二进制数表示8种状态。

当然，八进制计数不可能用八卦表示，通常采用0-7的阿拉伯数字表示

八进制的计数规则：

• 基数为8。
• 由8个数字组成，分别是0、1、2、3、4、5、6、7。
• 逢8进1，借1当8。

十六进制，在古代中国当时使用的重量单位就是十六进制，16两为1斤，就有了所谓的“半斤八两”。

同样十六进制的计数规则为：

• 基数为16。
• 由16个数字符号组成，分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。
• 逢16进1，借1当16。

进制记法

进制	记法	简写
2	Binary	B
8	Octal	O
10	Decimal	D或不加
16	Hexadecimal	H

各进制转十进制的转换（通法）

前面二进制和十进制相互转换的方法，同样适用于其他进制的数转换为十进制。

“按权展开”是其他进制转换为十进制的通法

（B表示各进制的基数，n表示位数）：

例如十六进制数BC0D转换为十进制：

“除基数B取余，逆序排列”方法可以将十进制数转换为任意进制数。

二进制和八进制、十六进制数的转换的简单的方法

二进制转换为八进制，采用“3位并1位”，按从右向左方向，每3位二进制位一组，最高位不足3位，添0补足3位，然后将各组3位二进制数加权展开，得到八进制数。